Værktøj · tal og algebra
Regnehierarkiet er den faste rækkefølge, et regnestykke regnes i: først parenteser, så potenser og rødder, så gange og division, til sidst plus og minus. Står to regnearter på samme trin, regner man fra venstre mod højre. Derfor er 3 + 4 · 2 = 11 og ikke 14.
Prøv regnestykket trin for trin
Skriv et regnestykke, og se det regnet ud ét trin ad gangen med navnet på det trin, der bruges. Regneren forstår + − · : ^ og parenteser, og du kan skrive decimaltal med komma.
Skriv · eller * for gange, : eller / for division, ^ for potens (fx 3^2), komma i decimaltal (1,5) og punktum i tusinder (1.000).
Regnehierarkiet kaldes også regnearternes hierarki, og det er den regel, der gør, at alle får det samme resultat af det samme regnestykke. Siden her er til dig, der skal lære eleverne reglen: de fire trin, de typiske fejl, en trin-for-trin-regner, du kan vise på tavlen, og øvelser med facit. Arkene til 8. klasse ligger i hæftet Regnearternes hierarki 8. klasse – negative tal, parenteser og potenser på tavletid.dk.
Regnehierarkiets 4 trin
TrinHvad regnesEksempel
- 1Parenteser (indefra og ud)(3 + 4) · 2 = 7 · 2 = 14
- 2Potenser og rødder2 · 3² = 2 · 9 = 18
- 3Gange og division, fra venstre mod højre12 : 3 · 2 = 4 · 2 = 8
- 4Plus og minus, fra venstre mod højre8 − 3 − 2 = 5 − 2 = 3
Gange og division står på samme trin. En typisk fejl er at tro, at gange altid kommer før division. 12 : 3 · 2 er 8, fordi man regner fra venstre: først 12 : 3 = 4, så 4 · 2 = 8. Regner man gangestykket først, får man forkert 12 : 6 = 2. Det samme gælder plus og minus: 8 − 3 − 2 er 3, ikke 8 − 1 = 7.
Hvorfor giver 3 + 4 · 2 = 11 og ikke 14?
3 + 4 · 2 giver 11, fordi gange står over plus i hierarkiet. Først 4 · 2 = 8, derefter 3 + 8 = 11. Vil man have 14, skal man skrive parentesen: (3 + 4) · 2. Eksemplet viser, at parentesen ikke er pynt – den ændrer resultatet.
Regnehierarkiet trin for trin: ét regnestykke regnet helt ud
Et længere regnestykke regnes ved at tage ét trin ad gangen og skrive en ny linje for hver udregning. Sådan ser 5 + 2 · (8 − 3)² : 10 ud:
5 + 2 · (8 − 3)² : 10
Parentesen først:
= 5 + 2 · 5² : 10
Så potensen:
= 5 + 2 · 25 : 10
Gange og division
fra venstre:
= 5 + 50 : 10
= 5 + 5
Til sidst plus:
= 10
Lad eleverne skrive lighedstegnene under hinanden, som her. Det gør det let for dig og eleven at se, i hvilket trin en fejl opstår.
Hvad er forskellen på −3² og (−3)²?
−3² er −9, mens (−3)² er 9. Potensen hører kun til det tal, den står lige efter. I −3² er det 3, der sættes i anden, og minus kommer bagefter: −(3 · 3) = −9. I (−3)² er det hele −3, der sættes i anden: (−3) · (−3) = 9. Netop den forskel har et helt ark i 8. klasses hæfte. Lad eleverne taste begge udgaver på deres egen lommeregner og i regnearket: ikke alle programmer læser −3² ens, og det er en god anledning til at sætte parentesen, når man mener (−3)².
De typiske fejl i regnehierarkiet
- Fra venstre mod højre uden hierarki: 3 + 4 · 2 regnes som 7 · 2 = 14.
- Gange før division: 12 : 3 · 2 regnes som 12 : 6 = 2.
- Plus før minus: 10 − 2 + 3 regnes som 10 − 5 = 5 i stedet for 8 + 3 = 11.
- Potensen på det forkerte tal: 2 · 3² regnes som 6² = 36 i stedet for 2 · 9 = 18.
- Minus foran parentes: 10 − (4 − 1) regnes som 10 − 4 − 1 = 5. Rigtigt er 10 − 3 = 7. Se regneregler for minusparenteser.
Huskeregler – og hvorfor de skal bruges med omtanke
Mange lærere bruger en huskeremse med forbogstaverne for parenteser, potenser, gange, division, plus og minus. Remsen er nyttig til rækkefølgen af trinene, men den skjuler, at gange og division er ét trin, og at plus og minus er ét trin. Skriv derfor trinene som fire rækker på tavlen, sådan som tabellen øverst gør, i stedet for seks led på en lang linje.
Hvornår lærer eleverne regnehierarkiet?
Fælles Mål for matematik nævner regningsarternes hierarki som vidensmål efter 9. klassetrin: eleven kan udføre sammensatte beregninger med rationale tal og har viden om regningsarternes hierarki. Reglen begynder dog tidligere. Efter 6. klassetrin skal eleverne kunne oversætte regneudtryk til hverdagssprog, og det kræver, at de ved, hvad der regnes først. I 7. klasse bruges hierarkiet, når eleverne sætter tal ind i et udtryk, og i 8. klasse kommer de negative tal og potenserne. Se Fælles Mål i matematik.
Øvelser i regnehierarkiet med facit
- 4 + 6 : 2 = ? (facit 7)
- (4 + 6) : 2 = ? (facit 5)
- 10 − 2 · 3 + 1 = ? (facit 5)
- 2 · 5² − 4 = ? (facit 46)
- 36 : (2 + 4) · 3 = ? (facit 18)
- 7 + 3 · (6 − 2)² = ? (facit 55)
- (18 − 4 · 3) : 2 + 1 = ? (facit 4)
En god variation er at give eleverne resultatet og bede dem sætte parenteser, så det passer: 4 + 6 : 2 skal give 5. Svaret er (4 + 6) : 2.
Hæftet til regnearternes hierarki
Hæftet til 8. klasse har fire ark: minus foran en parentes med tal, forskellen på −3² og (−3)², regnearternes hierarki med negative tal og potenser, og blandede regnestykker med 10-potenser. Er klassen ikke nået så langt, så start med bogstavregning og værdien af et udtryk fra 7. klasse, hvor hierarkiet bruges med positive tal. Næste skridt er regnereglerne for parenteser og negative tal.
Regnearternes hierarki 8. klasse – negative tal, parenteser og potenser
Hent 4 ark om regnearternes hierarki med negative tal og potenser med facit på tavletid.dk