Tal og algebra
Regneregler er de regler, der gælder for de fire regnearter, uanset hvilke tal man bruger. De vigtigste i folkeskolen er den kommutative lov (3 + 5 = 5 + 3), den associative lov ((2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)), den distributive lov (3 · (x + 4) = 3x + 12), fortegnsreglerne (minus gange minus giver plus) og potensreglerne (2³ · 2² = 2⁵).
Her står regnereglerne samlet, så du kan vise dem på tavlen og lade eleverne bruge dem til hovedregning, til negative tal og til bogstavregning. Rækkefølgen, regnestykket regnes i, står på siden om regnehierarkiet. Arkene til parenteserne ligger i hæftet Reduktion 8. klasse – ens led og parenteser på tavletid.dk.
Regnereglerne i én tabel
| Regel | Med bogstaver | Med tal |
|---|---|---|
| Kommutativ lov, plus | a + b = b + a | 3 + 5 = 5 + 3 |
| Kommutativ lov, gange | a · b = b · a | 4 · 7 = 7 · 4 |
| Associativ lov, plus | (a + b) + c = a + (b + c) | (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) |
| Associativ lov, gange | (a · b) · c = a · (b · c) | (4 · 25) · 7 = 4 · (25 · 7) |
| Distributiv lov | a · (b + c) = a · b + a · c | 7 · 102 = 7 · 100 + 7 · 2 |
| Distributiv lov, minus | a · (b − c) = a · b − a · c | 7 · 98 = 7 · 100 − 7 · 2 |
| Minus foran parentes | a − (b − c) = a − b + c | 10 − (4 − 1) = 10 − 4 + 1 |
Minus og division er ikke kommutative: 5 − 3 er ikke det samme som 3 − 5, og 12 : 4 er ikke det samme som 4 : 12. Den pointe er værd at tage med eleverne, når de har lært, at plus og gange »kan bytte rundt«.
Regnereglerne som hovedregningsstrategier
Regnereglerne er ikke kun algebra – de er grunden til, at hovedregningsstrategier virker:
4 · 25 · 7 = (4 · 25) · 7
= 100 · 7 = 700
7 · 98 = 7 · 100 − 7 · 2
= 700 − 14 = 686
17 + 38 + 3 = (17 + 3) + 38
= 20 + 38 = 58
Når eleverne skal forklare, hvorfor deres smarte udregning er rigtig, bruger de regnereglerne – også før de kender navnene.
Minus gange minus: fortegnsreglerne
Fortegnsreglerne siger, at to ens fortegn giver plus, og to forskellige fortegn giver minus. Det gælder både gange og division.
| Regnestykke | Fortegn | Resultat |
|---|---|---|
| 3 · 4 | plus gange plus | 12 |
| (−3) · 4 | minus gange plus | −12 |
| 3 · (−4) | plus gange minus | −12 |
| (−3) · (−4) | minus gange minus | 12 |
| −12 : (−3) | minus delt med minus | 4 |
Hvorfor giver minus gange minus plus?
Et mønster viser det bedre end en regel. Gang −3 med tal, der bliver én mindre ad gangen:
−3 · 2 = −6
−3 · 1 = −3
−3 · 0 = 0
−3 · (−1) = 3
−3 · (−2) = 6
Hver gang den anden faktor bliver én mindre, bliver resultatet 3 større. For at mønsteret fortsætter, må −3 · (−1) være 3. Lad eleverne selv fortsætte mønsteret, før du siger reglen.
Plus og minus med negative tal
Plus og minus med negative tal kan tænkes som bevægelse på tallinjen. At lægge et negativt tal til er det samme som at trække fra, og at trække et negativt tal fra er det samme som at lægge til:
−5 + 3 = −2
5 + (−2) = 3
5 − (−2) = 5 + 2 = 7
−4 − 3 = −7
Termometeret er den hverdagsmodel, eleverne kender: falder temperaturen fra 2 °C med 5 grader, er den −3 °C.
Parenteser: gang ind og hæv
Den distributive lov bruges til at gange ind i en parentes og til at sætte uden for en parentes. Står der minus foran parentesen, skifter alle led i parentesen fortegn.
3(x + 4) = 3x + 12
−2(x − 5) = −2x + 10
10 − (4 − 1) = 10 − 4 + 1 = 7
Sat uden for parentes:
6x + 9 = 3(2x + 3)
Minusparentesen har sit eget ark i 8. klasses hæfte. En typisk fejl er, at 10 − (4 − 1) regnes som 10 − 4 − 1 = 5 i stedet for 7.
Reduktion: saml ens led
At reducere er at skrive et udtryk så kort som muligt ved at samle led af samme slags. x-led samles for sig, y-led for sig og tal for sig:
3x + 2y + 5x − y
= (3x + 5x) + (2y − y)
= 8x + y
Et godt kontroltrick er at sætte et tal ind for x og y i både det oprindelige og det reducerede udtryk. Med x = 1 og y = 2 giver begge 10. Til selve ligningsløsningen, se ligninger.dk.
Potensreglerne
| Regel | Med bogstaver | Med tal |
|---|---|---|
| Gange med samme grundtal | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2² = 2⁵ = 32 |
| Division med samme grundtal | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 3⁴ : 3² = 3² = 9 |
| Potens af en potens | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Eksponenten 0 | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 5⁰ = 1 |
Reglerne gælder kun, når grundtallet er det samme. 2³ · 3² kan ikke skrives som én potens.
Kvadratsætningerne
De tre kvadratsætninger er den distributive lov brugt, når to parenteser ganges sammen:
| Kvadratsætning | Formel | Eksempel |
|---|---|---|
| 1. kvadratsætning | (a + b)² = a² + b² + 2ab | (x + 3)² = x² + 9 + 6x |
| 2. kvadratsætning | (a − b)² = a² + b² − 2ab | 49² = (50 − 1)² = 2500 + 1 − 100 = 2401 |
| 3. kvadratsætning | (a + b)(a − b) = a² − b² | 48 · 52 = 50² − 2² = 2496 |
Eksemplerne med 49² og 48 · 52 viser eleverne, at kvadratsætningerne også er hovedregning. Arkene står i Reduktion 9. klasse – kvadratsætningerne.
Hvornår lærer eleverne regnereglerne?
Efter Fælles Mål skal eleverne efter 3. klassetrin kunne opdage regneregler og enkle sammenhænge mellem størrelser og have viden om sammenhænge mellem de fire regningsarter. Efter 6. klassetrin skal de kunne anvende negative hele tal og enkle algebraiske udtryk. Efter 9. klassetrin skal de kunne udføre omskrivninger og beregninger med variable og have viden om regneregler for potenser og rødder og om regler for regning med reelle tal. Se Fælles Mål i matematik.
Øvelser i regneregler med facit
- Regn smart: 25 · 13 · 4 (1300)
- Regn smart: 6 · 99 (594)
- (−6) · (−7) og (−42) : 6 (42 og −7)
- 8 − (−3) og −8 − 3 (11 og −11)
- Gang ind: 5(2x − 3) (10x − 15)
- Reducér: 4a + 3b − a + 2b (3a + 5b)
- Skriv som én potens: 5² · 5³ (5⁵)
Hæfterne til regneregler
Hæftet til 8. klasse har fire ark: hæv en parentes med plus foran, hæv en parentes med minus foran, gang ind i parentesen og sæt den største fælles faktor uden for en parentes. Rækkefølgen og de negative tal med potenser står i regnearternes hierarki, og bogstavregningen begynder i Algebra 7. klasse – værdien af et udtryk.
Reduktion 8. klasse – ens led og parenteser
Hent 4 ark om ens led og parenteser med facit på tavletid.dk