Geometri og måling
Et koordinatsystem er to tallinjer, der står vinkelret på hinanden: den vandrette x-akse og den lodrette y-akse. De skærer hinanden i origo, punktet (0, 0). Et punkt skrives som et koordinatsæt (x, y), hvor man først går hen ad x-aksen og derefter op eller ned ad y-aksen. Akserne deler planen i fire kvadranter, nummereret 1.–4. kvadrant mod uret.
Her er koordinatsystemet forklaret til dig, der underviser fra de første gitternet i indskolingen til grafer i udskolingen. Figuren nedenfor kan vises på tavlen, og øvelserne kan laves på almindeligt ternet papir. Til 7. klasse ligger hæftet Funktioner 7. klasse – koordinatsystem, tabel og graf på tavletid.dk.
Hvad hedder (0, 0)? Origo
Punktet (0, 0), hvor x-aksen og y-aksen skærer hinanden, hedder origo – latin for oprindelse. Koordinaterne måles fra origo: tallene til højre og opad er positive, tallene til venstre og nedad er negative.
Hvordan aflæser og afsætter man et punkt? Først hen, så op
Et koordinatsæt (x, y) læses altid i samme rækkefølge: førstekoordinaten x fortæller, hvor langt man går vandret fra origo, og andenkoordinaten y, hvor langt man går lodret.
A(3, 2):
3 til højre, 2 op
B(−4, 1):
4 til venstre, 1 op
C(−2, −3):
2 til venstre, 3 ned
D(5, −1):
5 til højre, 1 ned
En typisk fejl er at bytte om på x og y. En huskeregel som »først hen ad gangen, så op ad trappen« kan hjælpe. Lad eleverne sige retningen højt, mens de tæller ternene.
Hvad er en kvadrant? De fire kvadranter
En kvadrant er en af de fire fjerdedele, akserne deler planen i. De nummereres mod uret, begyndende øverst til højre:
| Kvadrant | Placering | x | y | Punkt på figuren |
|---|---|---|---|---|
| 1. kvadrant | øverst til højre | positiv | positiv | A(3, 2) |
| 2. kvadrant | øverst til venstre | negativ | positiv | B(−4, 1) |
| 3. kvadrant | nederst til venstre | negativ | negativ | C(−2, −3) |
| 4. kvadrant | nederst til højre | positiv | negativ | D(5, −1) |
Et punkt, der ligger på en af akserne, fx (0, 4) eller (−2, 0), ligger ikke i nogen kvadrant.
Hvordan regner man koordinater ud?
Koordinater regnes ud ved at tælle eller ved at regne forskelle mellem punkter. Tre beregninger går igen fra mellemtrin til udskoling:
- Afstand vandret eller lodret: fra (1, 3) til (6, 3) er der 6 − 1 = 5 enheder.
- Areal af en figur: rektanglet med hjørnerne (1, 1), (5, 1), (5, 4) og (1, 4) er 4 bredt og 3 højt, så arealet er 12.
- Afstand på skrå: fra (1, 2) til (4, 6) er der 3 hen og 4 op, så afstanden er √(3² + 4²) = 5 med Pythagoras.
Fra tabel til graf: y = 2x + 1
I udskolingen bruges koordinatsystemet til grafer. En regel som y = 2x + 1 giver en tabel, og hvert talpar i tabellen er et punkt:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Punkterne (0, 1), (1, 3), (2, 5) og (3, 7) ligger på en ret linje. Grafen skærer y-aksen i 1, og for hvert skridt til højre går den 2 op – det er hældningen. Mellem (0, 1) og (2, 5) er hældningen (5 − 1) : (2 − 0) = 2. Lineære funktioner fortsætter i hæftet Funktioner 8. klasse – lineære funktioner.
Hvornår lærer eleverne koordinatsystemet?
Fælles Mål bygger koordinatsystemet op i tre skridt. Efter 3. klassetrin skal eleverne kunne beskrive positioner i et gitternet. Efter 6. klassetrin skal de kunne beskrive placeringer i koordinatsystemets første kvadrant og derefter i hele koordinatsystemet. Efter 9. klassetrin skal de kunne undersøge sammenhænge mellem kurver og ligninger. Se Fælles Mål i matematik.
Øvelser i koordinatsystemet
- Gitternet (indskoling): Tegn et gitter på 5 × 5 felter i gården med kridt. Et barn står i et felt, og klassen beskriver placeringen med »to hen og tre op«.
- Hemmelig tegning (mellemtrin): Giv en liste af punkter i første kvadrant, som skal forbindes i rækkefølge. Rigtigt afsat giver de en figur – fx et hus: (1, 1), (5, 1), (5, 4), (3, 6), (1, 4), (1, 1).
- Spejling (mellemtrin og 7. klasse): Afsæt A(3, 2) og spejl punktet i y-aksen. Hvad bliver koordinaterne? (−3, 2) Og i x-aksen? (3, −2)
- Koordinat-sænke-slagskibe: se reglerne på siden om matematikspil.
- Graf (udskoling): Lav en tabel for y = 3x − 2 med x fra −1 til 3, og tegn grafen. Hvor skærer den y-aksen? (−2)
Hæfterne til koordinatsystemet
Hæftet til 5. klasse har fire ark: aflæs punkter i første kvadrant, find det punkt, der ligger i et koordinatsæt, afstande, hjørner og areal i tern – og alle fire kvadranter. Det kan også bruges i 4. og 6. klasse. Det sidste ark er et tomt koordinatsystem til print – første kvadrant og hele koordinatsystemet – som du kan vise på tavlen eller lægge i en plastlomme.
Koordinatsystem 5. klasse – punkter og figurer
Hent 4 ark og et tomt koordinatsystem med facit på tavletid.dk
Hæftet til 7. klasse har fire ark: punkter i koordinatsystemets fire kvadranter, fra en regel til en tabel og tilbage, grafer fra hverdagen (cykeltur, pris, vandtank, taxa) og reglen bag en tabel. Det kan også bruges i 8. klasse. Spejling, drejning og parallelforskydning i koordinatsystemet står i Geometri 7. klasse – flytninger og symmetri.
Funktioner 7. klasse – koordinatsystem, tabel og graf
Hent 4 ark om koordinatsystem, tabel og graf med facit på tavletid.dk