Statistik og sandsynlighed
Middeltal, median og typetal er tre måder at beskrive det typiske tal i et datasæt på. Middeltallet er summen delt med antallet, medianen er det midterste tal, når tallene står i rækkefølge, og typetallet er det tal, der optræder flest gange. I datasættet 1, 3, 3, 4, 6, 8, 10 er middeltallet 5, medianen 4 og typetallet 3.
Siden er skrevet til dig, der underviser i statistik. Den forklarer de tre statistiske deskriptorer med samme eksempel hele vejen, viser hvornår de hører hjemme efter Fælles Mål, og giver fem øvelser, du kan tage direkte ind i klassen. Vil du have arkene klar, ligger hæftet Statistik 7. klasse – middeltal, median, typetal og variationsbredde på tavletid.dk med facit bagerst.
Middeltal: summen delt med antallet – 35 : 7 = 5
Middeltallet finder du ved at lægge alle observationer sammen og dele summen med antallet af observationer. Syv elever har læst 1, 3, 3, 4, 6, 8 og 10 bøger. Summen er 35, og der er 7 elever, så middeltallet er 5 bøger.
1 + 3 + 3 + 4 + 6 + 8 + 10
= 35
35 : 7 = 5
Middeltal kaldes også gennemsnit. Det behøver ikke at være et af tallene i datasættet, og det må gerne være et decimaltal. Middeltallet bruger alle tallene, og derfor flytter ét meget stort eller meget lille tal det meget.
Median: det midterste tal – 4 i 1, 3, 3, 4, 6, 8, 10
Medianen er den midterste observation, når alle observationer står i rækkefølge fra mindst til størst. I 1, 3, 3, 4, 6, 8, 10 står 4 på plads nummer fire med tre tal på hver side, så medianen er 4.
- Skriv alle tallene i rækkefølge – også dem, der går igen.
- Tæl, hvor mange tal der er.
- Er antallet ulige, er medianen det tal, der står i midten.
- Er antallet lige, er medianen middeltallet af de to midterste tal.
Hvordan finder man medianen, når der er et lige antal tal?
Ved et lige antal observationer er der to midterste tal, og medianen ligger midt imellem dem. I 2, 4, 6, 8, 10, 12 er de midterste tal 6 og 8, så medianen er (6 + 8) : 2 = 7. Medianen kan altså godt være et tal, der ikke står i datasættet.
Typetal: det hyppigste tal – 3 i eksemplet
Typetallet er den observation, der forekommer flest gange. I bog-eksemplet står 3 to gange og alle andre tal én gang, så typetallet er 3. Et datasæt kan have flere typetal, hvis to tal står lige mange gange, og det har intet typetal, hvis alle tal kun står én gang. Typetallet er den eneste af de tre deskriptorer, der også virker på data uden tal, fx den mest valgte yndlingsfarve i klassen.
Variationsbredde: største minus mindste: 10 − 1 = 9
Variationsbredden fortæller, hvor spredt tallene er: største observation minus mindste observation. I eksemplet er den 10 − 1 = 9. Den hører med i samme hæfte, fordi middeltal, median og typetal kun siger noget om midten, ikke om spredningen.
Middeltal, median og typetal i én tabel
| Middeltal | Median | Typetal | |
|---|---|---|---|
| Sådan findes det | summen delt med antallet | det midterste tal i rækkefølge | det hyppigste tal |
| I 1, 3, 3, 4, 6, 8, 10 | 5 | 4 | 3 |
| Påvirkes af ét ekstremt tal | ja, meget | næsten ikke | nej |
| Kan bruges på ord og kategorier | nej | nej | ja |
Hvornår er medianen bedre end middeltallet?
Medianen er bedst, når datasættet har et enkelt tal, der stikker langt ud. Syv elever har 2, 2, 3, 3, 3, 4 og 40 kæledyr i alt hjemme – den sidste bor på en gård. Middeltallet bliver 57 : 7 ≈ 8,1, selvom seks af de syv har fire eller færre. Medianen er 3 og beskriver klassen langt bedre. Det er samme grund til, at løn og huspriser kan være bedre beskrevet med medianen: nogle få meget høje tal trækker middeltallet op.
Det er en god samtale at tage med eleverne: hvilken deskriptor ville du vælge, hvis du ville få tallet til at se stort ud? Spørgsmålet træner det, Fælles Mål efter 9. klassetrin kalder at vurdere statistiske undersøgelser og præsentationer af data.
Hyppighedstabel: median og middeltal uden at skrive alle tal op
Når data står i en hyppighedstabel, tæller du dig frem til medianen og ganger dig frem til middeltallet. 20 elever har skrevet deres skostørrelse:
| Skostørrelse | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| Antal elever | 2 | 5 | 8 | 4 | 1 |
Typetal: 38
(8 elever – flest)
Median: 20 elever, så
nr. 10 og 11 i rækkefølge.
2 + 5 = 7 og 7 + 8 = 15,
så nr. 8–15 har 38.
Median = 38
Middeltal:
36·2 + 37·5 + 38·8
+ 39·4 + 40·1
= 72 + 185 + 304
+ 156 + 40
= 757
757 : 20 = 37,85
Eksemplet viser også, at middeltallet 37,85 ikke er en skostørrelse, man kan købe. Den pointe hjælper eleverne med at forstå, at middeltallet er et regnet tal, ikke en observation.
Hvornår lærer eleverne middeltal, median og typetal?
Efter Fælles Mål for matematik skal eleverne efter 6. klassetrin kunne sammenligne datasæt ud fra hyppigheder, frekvenser og enkle statistiske deskriptorer. Efter 9. klassetrin skal de kunne vælge relevante deskriptorer og diagrammer til analyse af datasæt. På tavletid er middeltal, median, typetal og variationsbredde samlet i et hæfte til 7. klasse, og emnet bygges videre med kvartiler og boksplot i 8. klasse. Se hele målområdet på siden om Fælles Mål i matematik.
Fem øvelser til klassen
- Klassens egne data: Lad eleverne måle deres håndspænd i cm. Skriv tallene på tavlen, og lad grupperne finde middeltal, median og typetal. Hvilken gruppe kan forklare, hvorfor tallene ikke er ens?
- Byg et datasæt: Bed eleverne om at finde fem tal med middeltal 6 og median 5. Der er mange løsninger, fx 2, 4, 5, 9, 10.
- Ekstrem-testen: Giv syv tal, og læg derefter ét meget stort tal til. Hvad sker der med middeltallet, og hvad sker der med medianen?
- Baglæns: Fire elever har et middeltal på 7 point. Tre af dem har 5, 6 og 8 point. Hvor mange point har den fjerde? (28 − 19 = 9)
- Ord og kategorier: Lav en afstemning om yndlingsfrugt. Hvorfor kan klassen kun finde typetallet her?
Svarene på øvelse 2 og 4 kan eleverne selv tjekke ved at regne middeltal og median ud bagefter.
Hæftet til middeltal, median og typetal
Hæftet har fire ark med 10 minutter pr. ark: middeltal og variationsbredde, median og typetal, hyppighedstabeller og baglæns fra middeltallet (også med minusgrader), og deskriptorerne i hverdagen. Det er skrevet til 7. klasse og kan bruges i 8. klasse. Vil du videre med spredningen, er det næste hæfte kvartiler og boksplot, og til diagrammerne findes diagrammer, hyppighed og frekvens. Statistikken går også igen i FP9 matematik.
Statistik 7. klasse – middeltal, median, typetal og variationsbredde
Hent 4 ark om middeltal, median, typetal og variationsbredde med facit på tavletid.dk