Tal og algebra
Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun kan deles med 1 og med sig selv. De første primtal er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29. Der er 25 primtal under 100. Tallet 1 er ikke et primtal, og 2 er det eneste lige primtal.
Siden er til dig, der skal undervise i primtal og delelighed på mellemtrinnet eller repetere dem i udskolingen. Den har listen over primtal fra 1 til 100, en tjekker, der afgør, om et tal er et primtal, Eratosthenes’ si som klasseaktivitet, primfaktoropløsning og delelighedsreglerne, der gør afprøvningen hurtig.
Hvad er et primtal? Præcis to divisorer
Et primtal har præcis to divisorer: 1 og tallet selv. 7 er et primtal, fordi 7 kun kan deles med 1 og 7 uden rest. 8 er ikke et primtal, fordi 8 også kan deles med 2 og 4. Tal større end 1, der ikke er primtal, kaldes sammensatte tal, fordi de kan skrives som et produkt af mindre tal: 8 = 2 · 4.
Tallet 1 er hverken et primtal eller et sammensat tal. Det har kun én divisor, nemlig sig selv. Reglen er også praktisk: hvis 1 var et primtal, kunne et tal opløses i primfaktorer på uendeligt mange måder (6 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3 = 1 · 1 · 2 · 3 …).
Primtal fra 1 til 100: alle 25
- 1–20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
- 21–40: 23, 29, 31, 37
- 41–60: 41, 43, 47, 53, 59
- 61–80: 61, 67, 71, 73, 79
- 81–100: 83, 89, 97
Der er 8 primtal under 20 og 25 under 100. Primtallene bliver sjældnere, jo højere man kommer: der er 168 primtal under 1.000.
Er tallet et primtal? Skriv det og se svaret
Skriv et helt tal, og se med det samme, om det er et primtal. Er det ikke, viser tjekkeren, hvilket tal der går op, og om en delelighedsregel afslører det. Er det et primtal, viser den, hvilke primtal man skal prøve op til kvadratroden.
Skriv et helt tal op til 12 cifre. Store tal må gerne skrives med tusindtalspunktum (1.009). Tjekkeren prøver alle mulige divisorer op til kvadratroden af tallet.
Hvorfor er 2 det eneste lige primtal?
Alle andre lige tal end 2 kan deles med 2 og har derfor mindst tre divisorer: 1, 2 og tallet selv. 2 kan kun deles med 1 og 2, så det er et primtal. Det er et godt første ræsonnement at lade eleverne formulere selv, fordi det viser forskellen på at afprøve nogle tal og at argumentere for alle.
Eratosthenes’ si: find primtallene under 100 selv
Eratosthenes’ si er en metode til at finde alle primtal op til et bestemt tal ved at strege multipla ud. Den er opkaldt efter den græske matematiker Eratosthenes og fungerer godt som klasseaktivitet på en hundredetavle.
- Skriv tallene fra 1 til 100 i en hundredetavle, og stryg 1.
- Sæt ring om 2, og stryg alle andre tal i 2-tabellen: 4, 6, 8 …
- Sæt ring om 3, og stryg alle multipla af 3, der ikke allerede er strøget.
- Gør det samme med 5 og 7.
- Alle tal, der ikke er strøget, er primtal. Sæt ring om dem.
Man kan stoppe efter 7, fordi det næste primtal, 11, ganget med sig selv giver 121, som er over 100. Alle sammensatte tal under 100 har altså en divisor på 7 eller derunder. Lad eleverne opdage, at de udstregede tal danner søjler og skrå linjer i hundredetavlen – det er gangetabellerne, der viser sig.
Hvordan finder man ud af, om et tal er et primtal?
Et tal er et primtal, hvis det ikke kan deles med noget primtal op til kvadratroden af tallet. For 97 er √97 lidt under 10, så man skal kun prøve 2, 3, 5 og 7. Ingen af dem går op i 97, og derfor er 97 et primtal.
Delelighedsreglerne gør afprøvningen hurtig:
| Delelighed | når … | Eksempel |
|---|---|---|
| Kan deles med 2 | sidste ciffer er 0, 2, 4, 6 eller 8 | 58 |
| Kan deles med 3 | tværsummen kan deles med 3 | 51: 5 + 1 = 6 |
| Kan deles med 5 | sidste ciffer er 0 eller 5 | 85 |
| Kan deles med 9 | tværsummen kan deles med 9 | 72: 7 + 2 = 9 |
| Kan deles med 10 | sidste ciffer er 0 | 90 |
Fælderne: 51, 57 og 91
Tre tal ligner primtal, men er det ikke, og de er gode til en klassediskussion. 51 = 3 · 17 og 57 = 3 · 19 afsløres af tværsummen (6 og 12). 91 = 7 · 13 er den sværeste, fordi ingen af de hurtige regler fanger den – man skal prøve 7.
Er 121, 91 og 27 primtal? Svar på de tal, der oftest bliver spurgt om
Af de 23 tal herunder er 12 primtal. Hverken 121, 91 eller 27 er det.
Primtal: 11, 13, 29, 31, 37, 59, 67, 71, 79, 89, 97 og 101. Ingen af dem kan deles med 2, 3, 5 eller 7, og for tal under 121 er det nok at prøve de fire, fordi 11 · 11 = 121.
Ikke primtal:
- 15 = 3 · 5 (slutter på 5)
- 21 = 3 · 7 (tværsum 3)
- 27 = 3 · 3 · 3 (tværsum 9)
- 33 = 3 · 11 (tværsum 6)
- 35 = 5 · 7 (slutter på 5)
- 39 = 3 · 13 (tværsum 12)
- 51 = 3 · 17 (tværsum 6)
- 57 = 3 · 19 (tværsum 12)
- 87 = 3 · 29 (tværsum 15)
- 91 = 7 · 13
- 121 = 11 · 11
Primfaktoropløsning: 60 = 2 · 2 · 3 · 5
Ethvert sammensat tal kan skrives som et produkt af primtal på præcis én måde, hvis man ser bort fra rækkefølgen. Det kaldes primfaktoropløsning. Man deler med det mindste primtal, der går op, og fortsætter med kvotienten:
60 : 2 = 30
30 : 2 = 15
15 : 3 = 5
5 : 5 = 1
60 = 2 · 2 · 3 · 5
= 2² · 3 · 5
Andre eksempler: 72 = 2³ · 3², 84 = 2² · 3 · 7 og 100 = 2² · 5². Primfaktorerne bruges til at finde den største fælles divisor, fx når en brøk skal forkortes: 12/18 forkortes med 6, fordi 6 er den største fælles divisor af 12 og 18. Se brøker.
Findes der uendeligt mange primtal?
Ja. Det blev bevist af den græske matematiker Euklid for over 2.000 år siden. Idéen i beviset kan forklares i udskolingen: gang alle de primtal, man kender, sammen og læg 1 til. Det nye tal kan ikke deles med nogen af de kendte primtal, fordi der altid er 1 i rest, så der må findes et primtal, man ikke havde med. Uanset hvor lang listen er, findes der altså altid et primtal mere.
Hvornår lærer eleverne primtal?
Fælles Mål for matematik nævner ikke primtal med navn, men emnet hører under tal og regnestrategier: efter 3. klassetrin skal eleverne have viden om strategier til multiplikation og division og kunne opdage regneregler, og efter 6. klassetrin skal de kunne anvende de fire regningsarter inden for de naturlige tal. Primtal og delelighed passer derfor ind, når gangetabellerne sidder, og de bruges igen i udskolingen til at forkorte brøker. Se Fælles Mål i matematik.
Øvelser i primtal
- Hvilke af tallene 21, 23, 25, 27 og 29 er primtal? (23 og 29)
- Find de primtalspar under 50, der kun har ét tal imellem sig, fx 11 og 13. (3 og 5, 5 og 7, 11 og 13, 17 og 19, 29 og 31, 41 og 43)
- Primfaktoropløs 48. (2⁴ · 3)
- Er 221 et primtal? (Nej: 221 = 13 · 17)
- Undersøgelse: Skriv alle lige tal fra 4 til 20 som summen af to primtal, fx 10 = 3 + 7. Kan det lade sig gøre hver gang?
Den sidste opgave er Goldbachs formodning fra 1742: ingen har fundet et lige tal over 2, som ikke kan skrives sådan, men det er heller aldrig blevet bevist. Det er en god måde at vise eleverne, at matematik også har uløste spørgsmål.
Hæfte til primtal
Hæftet til 5. klasse har seks ark: alle divisorer i et tal, delelighedsreglerne for 2, 3, 5, 9 og 10, Eratosthenes’ si på hundredetavlen, primtal eller sammensat tal, primfaktoropløsning og en undersøgelse af summen af to primtal. Det kan også bruges i 6. klasse, og facit står bagerst.
Primtal 5. klasse – delelighed, primtal og primfaktorer
Hent 6 ark om primtal og delelighed med facit på tavletid.dk
Division med og uden rest, som er grundlaget for at afgøre, om et tal går op i et andet, øves i gangetabellerne til 4. klasse.