Tal og algebra
Procent betyder hundrededele: 1 % er 1/100, og 25 % er 25/100 = 0,25. Man regner procent af et tal ved at gange med procenten som decimaltal – 25 % af 80 er 0,25 · 80 = 20 – og man finder, hvor mange procent en del er, ved at dividere delen med helheden og gange med 100: 18 af 60 er 18 : 60 · 100 = 30 %.
Procentregning har tre grundtyper, og næsten alle opgaver i folkeskolen er en af dem eller en kombination: procent af et tal, hvor mange procent, og helheden ud fra procenten. Her står de tre med regnede eksempler, efterfulgt af stigning og fald, rabat og moms, procentpoint og rente – i den rækkefølge, tavletids ni procenthæfter tager dem fra 7. til 9. klasse. Det første hæfte er Procent 7. klasse – procent af et tal på tavletid.dk.
Hvordan regner man procent? De 3 grundtyper
| Spørgsmål | Sådan regnes det | Eksempel |
|---|---|---|
| Hvad er p % af et tal? | tallet · p : 100 | 25 % af 80 = 80 · 0,25 = 20 |
| Hvor mange procent er en del af helheden? | delen : helheden · 100 | 18 af 60 = 18 : 60 · 100 = 30 % |
| Hvad er helheden, når p % er kendt? | delen : p · 100 | 15 er 20 % → 15 : 20 · 100 = 75 |
Lad eleverne kontrollere med et overslag: 30 % af 60 skal være knap en tredjedel af 60, altså omkring 18–20.
Procent af et tal i hovedet: 10 %, 50 % og 25 %
De fleste procenter kan regnes i hovedet ud fra tre nøgleprocenter. 50 % er halvdelen, 25 % er en fjerdedel, og 10 % er tallet divideret med 10. Resten bygges af dem:
12 % af 250:
10 % = 25
1 % = 2,5
2 % = 5
12 % = 25 + 5 = 30
15 % af 400:
10 % = 40
5 % = 20
15 % = 40 + 20 = 60
Strategierne er dem, eleverne får brug for i prøven uden hjælpemidler, hvor lommeregneren ikke må bruges, og det er dem, hæftet om procent af et tal træner først.
Stigning og fald: fremskrivningsfaktoren
En stigning på p % svarer til at gange med 1 + p/100, og et fald på p % til at gange med 1 − p/100. Tallet, man ganger med, hedder fremskrivningsfaktoren.
Stigning 15 % på 400:
400 · 1,15 = 460
Fald 20 % på 350:
350 · 0,80 = 280
Fald 30 % på 600:
600 · 0,70 = 420
Faktoren gør det også let at regne baglæns: kostede en vare 460 kr. efter en stigning på 15 %, var prisen før 460 : 1,15 = 400 kr.
Hvorfor ophæver 10 % op og 10 % ned ikke hinanden?
En stigning og et fald på samme procent ophæver ikke hinanden, fordi procenterne regnes af forskellige tal. 100 kr. + 10 % = 110 kr., og 110 kr. − 10 % = 99 kr. Faktorerne viser det direkte: 1,10 · 0,90 = 0,99.
Rabat og moms: 25 % moms frem og tilbage
Momsen i Danmark er 25 % af prisen uden moms. En vare, der koster 200 kr. uden moms, koster 200 · 1,25 = 250 kr. med moms. Den klassiske fælde er den omvendte vej: momsen er ikke 25 % af prisen med moms, men 20 %.
Med moms:
200 · 1,25 = 250 kr.
Uden moms:
250 : 1,25 = 200 kr.
Momsen:
250 − 200 = 50 kr.
Momsens andel af 250 kr.:
50 : 250 = 0,20 = 20 %
Rabat regnes som et fald: 20 % rabat på 350 kr. giver 350 · 0,8 = 280 kr.
Procent og procentpoint – forskellen
Procentpoint er forskellen mellem to procenttal, mens procent beskriver ændringen i forhold til udgangspunktet. Stiger en rente fra 4 % til 5 %, er stigningen 1 procentpoint, men 25 % (fordi 1 er 25 % af 4). Forskellen bruges i nyheder og diagrammer, og den er et ark for sig i hæftet Procent 8. klasse – procentpoint og procent.
Rente og rentes rente
Rente er en stigning i procent pr. år, og når renten tilskrives hvert år, regnes næste års rente af det nye beløb. Det kaldes rentes rente.
10.000 kr., 2 % rente, 3 år:
10.000 · 1,02 · 1,02 · 1,02
= 10.000 · 1,02³
≈ 10.612,08 kr.
Uden rentes rente ville det have givet 3 · 200 = 600 kr. i rente. Med rentes rente bliver det 612,08 kr. Forskellen vokser med årene og er grunden til, at både opsparing og gæld vokser hurtigere, end eleverne regner med.
Hvornår lærer eleverne procent?
Efter Fælles Mål skal eleverne efter 6. klassetrin kunne anvende procent og udføre beregninger med procent, også med digitale værktøjer. Efter 9. klassetrin skal de kunne anvende decimaltal, brøk og procent og udføre beregninger vedrørende procentuel vækst, herunder rentevækst. Et af de bindende opmærksomhedspunkter efter 9. klassetrin er, at eleven kan gennemføre simple procentberegninger med overslag og lommeregner. Se Fælles Mål i matematik og FP9 matematik.
Øvelser i procentregning med facit
- 30 % af 90 (27)
- 45 er hvor mange procent af 180? (25 %)
- 24 er 40 % af hvad? (60)
- En cykel koster 2.400 kr. og sættes ned med 15 %. Hvad er den nye pris? (2.040 kr.)
- En jakke koster 625 kr. med moms. Hvad koster den uden moms? (500 kr.)
- Antallet af elever stiger fra 200 til 250. Hvor mange procent er stigningen? (25 %) Og faldet, hvis det går fra 250 til 200? (20 %)
- En pris stiger 10 % to år i træk. Hvor mange procent er den samlede stigning? (21 %)
Hæfterne til procent
Tavletid har ni procenthæfter med facit. I 7. klasse: brøk, decimaltal og procent, procent af et tal og hvor mange procent. I 8. klasse: frem og tilbage med faktoren, procentpoint og procent og rabat, moms og løn. I 9. klasse: rente og opsparing, vækst over flere år og alt om procent på tid. Brøkerne bag procenterne står på siden om brøker.
Procent 7. klasse – procent af et tal