Geometri og måling
En vinkel er åbningen mellem to linjer, der mødes i et punkt, og den måles i grader (°). Vinkler under 90° er spidse, præcis 90° er rette, mellem 90° og 180° er stumpe, og 180° er en lige vinkel. Vinklerne i en trekant giver altid 180° tilsammen, og i en firkant 360°.
Siden giver dig vinkeltyperne, vinkelsummen i trekanter, firkanter og mangekanter, hvordan eleverne bruger vinkelmåleren, og øvelser med facit. Arkene til 7. klasse ligger i hæftet Geometri 7. klasse – vinkler og vinkelsum på tavletid.dk.
Vinkeltyperne: spids, ret, stump, lige og overstump
| Vinkeltype | Størrelse | Eksempel |
|---|---|---|
| Spids vinkel | mellem 0° og 90° | spidsen af et pizzastykke |
| Ret vinkel | præcis 90° | hjørnet af et A4-ark |
| Stump vinkel | mellem 90° og 180° | en opslået bærbar, hvor skærmen hælder bagud |
| Lige vinkel | præcis 180° | en ret linje |
| Overstump vinkel | mellem 180° og 360° | den store vinkel uden om et pizzastykke |
| Fuld vinkel | 360° | en hel omgang |
Den rette vinkel tegnes med et lille kvadrat i hjørnet i stedet for en bue. Det er et godt sted at begynde, for et A4-ark har fire rette vinkler, som eleverne kan bruge til at afgøre, om en vinkel er større eller mindre end 90°.
Hvor mange grader er vinklerne i en trekant? 180°
Vinkelsummen i en trekant er 180°. Kender man to af vinklerne, finder man den tredje ved at trække fra 180°:
Vinkler: 50° og 70°
Tredje vinkel:
180° − 50° − 70° = 60°
Eleverne kan selv vise reglen: klip en trekant ud af papir, riv de tre hjørner af og læg dem ved siden af hinanden. Spidserne danner tilsammen en lige vinkel, altså 180°.
Spidsvinklet, retvinklet og stumpvinklet trekant
Trekanter navngives efter deres største vinkel. En spidsvinklet trekant har tre spidse vinkler. En retvinklet trekant har én ret vinkel på 90°. En stumpvinklet trekant har én stump vinkel. En trekant kan aldrig have mere end én ret eller stump vinkel, for så ville vinkelsummen blive over 180°. Om den retvinklede trekant og Pythagoras, se retvinklet trekant.
Hvor mange grader er vinklerne i en firkant? 360°
Vinkelsummen i en firkant er 360°, fordi enhver firkant kan deles i to trekanter med en diagonal: 2 · 180° = 360°. Har en firkant vinklerne 90°, 90° og 110°, er den fjerde vinkel 360° − 90° − 90° − 110° = 70°.
Vinkelsummen i en mangekant: (n − 2) · 180°
Vinkelsummen i en mangekant med n sider er (n − 2) · 180°, fordi den kan deles i n − 2 trekanter fra ét hjørne.
| Mangekant | Antal sider n | Vinkelsum | Hver vinkel, hvis den er regulær |
|---|---|---|---|
| Trekant | 3 | 180° | 60° |
| Firkant | 4 | 360° | 90° |
| Femkant | 5 | 540° | 108° |
| Sekskant | 6 | 720° | 120° |
| Ottekant | 8 | 1080° | 135° |
En regulær mangekant har lige lange sider og lige store vinkler. Sekskantens 120° er grunden til, at cellerne i bienes vokskager og fliser kan dække en flade uden huller: tre sekskanter mødes i ét punkt, og 3 · 120° = 360°.
Topvinkler, nabovinkler og ensliggende vinkler
Når to linjer krydser hinanden, opstår fire vinkler. Topvinkler står over for hinanden og er lige store. Nabovinkler ligger ved siden af hinanden på samme linje og giver tilsammen 180°. Er den ene vinkel 35°, er nabovinklen 145°, og topvinklen er 35°.
Når en linje skærer to parallelle linjer, er ensliggende vinkler lige store. Det er de vinkler, der ligger på samme plads ved hvert skæringspunkt – fx begge øverst til højre.
Hvordan måler man en vinkel med en vinkelmåler?
- Læg vinkelmålerens midtpunkt præcis i vinklens spids.
- Drej vinkelmåleren, så nullinjen ligger langs det ene ben.
- Følg den skala, der starter ved 0 på det ben, og aflæs, hvor det andet ben skærer skalaen.
- Kontrollér med øjet: er vinklen spids, skal tallet være under 90.
Det fjerde trin fanger en typisk fejl, hvor eleven læser på den forkerte skala og fx skriver 130° i stedet for 50°. Er benene for korte til at nå skalaen, forlænges de med en lineal.
Hvornår lærer eleverne vinkler?
Efter Fælles Mål skal eleverne efter 6. klassetrin kunne kategorisere polygoner efter sidelængder og vinkler og have viden om vinkeltyper. De skal også have viden om vinkelmål og linjers indbyrdes beliggenhed. Efter 9. klassetrin kommer sammenhængen mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter, dvs. trigonometri. Se Fælles Mål i matematik.
Øvelser i vinkler med facit
- En trekant har vinklerne 35° og 65°. Hvor stor er den tredje? (80°)
- En ligebenet trekant har en topvinkel på 40°. Hvor store er de to andre? (70° hver)
- En firkant har vinklerne 100°, 80° og 75°. Hvor stor er den fjerde? (105°)
- Hvad er vinkelsummen i en tikant? (1440°)
- Viserne på et ur står på klokken 3. Hvor stor er vinklen mellem dem? (90°) Og klokken 2? (60°)
- Undersøgelse: Tegn tre forskellige firkanter, mål alle vinkler og læg dem sammen. Hvorfor bliver det næsten 360° hver gang – og hvorfor ikke helt præcist?
Hæfterne til vinkeltyper og vinkelsum
Hæftet til 4. klasse har fire ark om vinkeltyper: spids, ret, stump eller lige – først med gradtal, så med øjet mod hjørnet af elevens eget hæfte – trekanter efter deres vinkler og vinklerne på uret og i en pizza. Det kan også bruges i 5. klasse.
Geometri 4. klasse – vinkeltyper
Hæftet til 7. klasse har fire ark med skitser: den ukendte vinkel i en trekant, i firkanter, trapezer og parallelogrammer, vinkelsummen i mangekanter og vinkler i hverdagen (tag, skilte, fliser, stige, pizza). Det kan også bruges i 6. klasse. Vinklerne går videre i flytninger og symmetri og i trigonometri i 9. klasse.
Geometri 7. klasse – vinkler og vinkelsum
Hent 4 ark om vinkler og vinkelsum med skitser og facit på tavletid.dk