Geometri og måling
Areal er hvor stor en flade er og måles i kvadratenheder som cm² og m². Omkreds er hvor lang kanten rundt om fladen er og måles i længdeenheder som cm og m. Et rektangel på 6 cm × 4 cm har arealet 24 cm² (6 · 4) og omkredsen 20 cm (6 + 4 + 6 + 4).
Areal og omkreds er ikke det samme, og en typisk fejl er at blande dem sammen. Siden her giver dig formlerne for de figurer, eleverne møder i folkeskolen, et eksempel, der viser forskellen, og øvelser fra indskoling til 9. klasse. Til 7. klasse ligger hæftet Geometri 7. klasse – areal og omkreds på tavletid.dk.
Er areal og omkreds det samme?
Nej. Arealet måler fladen inden i figuren, mens omkredsen måler kanten rundt om den. Det ses tydeligst, når figurerne har samme areal men forskellig omkreds. Tre rektangler med arealet 12 cm²:
| Rektangel | Areal | Omkreds |
|---|---|---|
| 1 cm × 12 cm | 12 cm² | 26 cm |
| 2 cm × 6 cm | 12 cm² | 16 cm |
| 3 cm × 4 cm | 12 cm² | 14 cm |
Jo mere kvadratisk rektanglet er, jo mindre omkreds har det ved det samme areal. Lad eleverne lægge 12 brikker eller tern på ternet papir på alle de måder, de kan finde, og måle omkredsen hver gang. Det er en undersøgelse, de husker bedre end en formel.
Formler for areal og omkreds af 6 figurer og sammensatte figurer
| Figur | Areal | Omkreds |
|---|---|---|
| Kvadrat med side s | s · s | 4 · s |
| Rektangel med længde l og bredde b | l · b | 2 · l + 2 · b |
| Trekant med grundlinje g og højde h | ½ · g · h | summen af de tre sider |
| Parallelogram med grundlinje g og højde h | g · h | summen af de fire sider |
| Trapez med parallelle sider a og b og højde h | ½ · (a + b) · h | summen af de fire sider |
| Cirkel med radius r | π · r² | 2 · π · r |
| Sammensat figur | del op i kendte figurer og læg sammen | gå rundt langs kanten |
Højden står altid vinkelret på grundlinjen. Det er højden, ikke den skrå side, der bruges i arealet af trekant, parallelogram og trapez.
Areal og omkreds af et rektangel: 6 cm × 4 cm
Areal:
l · b = 6 · 4
= 24 cm²
Omkreds:
2·l + 2·b = 2·6 + 2·4
= 12 + 8
= 20 cm
Arealet tæller, hvor mange kvadrater på 1 cm × 1 cm der kan ligge i rektanglet: 6 i hver række og 4 rækker. Omkredsen er den vej, en myre går hele vejen rundt.
Areal af trekant, parallelogram og trapez
En trekant er halvdelen af et parallelogram med samme grundlinje og højde, og det er derfor, der står ½ i formlen.
Trekant (g = 8, h = 5):
½ · 8 · 5 = 20 cm²
Parallelogram (g = 7, h = 3):
7 · 3 = 21 cm²
Trapez (a = 6, b = 10, h = 4):
½ · (6 + 10) · 4 = 32 cm²
Areal og omkreds af en cirkel med radius 3 cm
Cirklens omkreds er 2 · π · r og arealet π · r². Med r = 3 cm:
Omkreds = 2 · π · 3
≈ 18,85 cm
Med π ≈ 3,14: 18,84 cm
Areal = π · 3²
≈ 28,27 cm²
Med π ≈ 3,14: 28,26 cm²
Svarene afhænger af, hvor mange decimaler i π eleverne bruger. Aftal i klassen, om π skal være 3,14 eller lommeregnerens værdi, så facit passer. Halve og kvarte cirkler er en del af hæftet Geometri 7. klasse – cirklen.
Hvordan finder man arealet af en sammensat figur?
Arealet af en sammensat figur findes ved at dele den op i kendte figurer eller ved at trække et stykke fra. En L-formet figur i et rektangel på 8 m × 5 m, hvor der mangler et hjørne på 3 m × 2 m:
Hele rektanglet:
8 · 5 = 40 m²
Hjørnet:
3 · 2 = 6 m²
L-figuren:
40 − 6 = 34 m²
Omkreds:
8 + 5 + 8 + 5 = 26 m
Omkredsen af L-figuren er den samme som rektanglets, fordi de to kanter, der rykker ind, er lige så lange som dem, der forsvinder. Det kan overraske eleverne, og det er en god opgave at lade dem tegne.
Hvordan omregner man mellem cm² og m²?
1 m² er 100 cm × 100 cm = 10.000 cm². Mellem naboenheder for areal er faktoren 100, ikke 10, fordi både længden og bredden ganges med 10. Enhedsomregning for areal er samlet i hæftet Enhedstrappen 6. klasse – areal, rumfang og tid.
Hvornår lærer eleverne areal og omkreds?
Efter Fælles Mål skal eleverne efter 3. klassetrin kunne sammenligne enkle geometriske figurers omkreds og areal og have viden om måleenheder for areal. Efter 6. klassetrin skal de kunne anslå og bestemme omkreds og areal og bestemme omkreds og areal af cirkler. Efter 9. klassetrin skal de kunne bestemme mål i figurer ved hjælp af formler og digitale værktøjer. Se hele område geometri og måling på Fælles Mål i matematik.
Øvelser i areal og omkreds fra indskoling til 9. klasse
- Indskoling: Tegn så mange figurer som muligt på ternet papir, der dækker præcis 6 tern. Hvilken figur har den længste kant rundt?
- Mellemtrin: Mål klasselokalets gulv i meter og beregn arealet. Hvor mange gulvfliser på 50 cm × 50 cm skal der til? (Én m² rummer 4 fliser.)
- Mellemtrin: Et hegn på 20 m skal hegne et rektangulært bed ind. Hvilke mål giver det største bed? (5 m × 5 m giver 25 m².)
- Udskoling: Beregn arealet af en husgavl: et rektangel på 8 m × 3 m med en trekant på toppen med højden 2 m. (24 + 8 = 32 m²)
- Udskoling: En cirkel har omkredsen 31,4 cm. Hvad er radius? (Med π ≈ 3,14: 5 cm.)
Hæfterne til areal og omkreds
Hæftet til 4. klasse har fire ark: tæl de grå tern, læg siderne sammen hele vejen rundt, areal og omkreds af rektangler og kvadrater – og rektangler med samme areal, men forskellig omkreds. Det kan også bruges i 3. og 5. klasse.
Geometri 4. klasse – areal og omkreds
Hent 4 ark om areal og omkreds til 4. klasse med facit på tavletid.dk
Hæftet til 6. klasse har fire ark med skitser: rektangel og kvadrat – også baglæns – trekanten, parallelogrammet og hverdagens kvadratmeter med en L-formet stue, en gavl og et overslag. Det kan også bruges i 5. klasse.
Geometri 6. klasse – areal og omkreds
Hent 4 ark om areal og omkreds til 6. klasse med facit på tavletid.dk
Hæftet til 7. klasse har fire ark med skitser: areal og omkreds af trekant og parallelogram, trapezet, sammensatte figurer (L-form og hus) og hverdagens areal i m². Det kan også bruges i 8. klasse. I 8. klasse kommer bogstaverne til i omkreds og areal med bogstaver. Til vinkler i de samme figurer, se vinkler, og til Pythagoras i den retvinklede trekant, se retvinklet trekant.
Geometri 7. klasse – areal og omkreds
Hent 4 ark om areal og omkreds med skitser og facit på tavletid.dk