Geometri og måling
En retvinklet trekant er en trekant med én ret vinkel på 90°. De to sider, der danner den rette vinkel, hedder kateter, og den lange side over for den rette vinkel hedder hypotenusen. Pythagoras’ sætning siger, at a² + b² = c², hvor c er hypotenusen: i en trekant med kateterne 3 og 4 er hypotenusen 5, fordi 9 + 16 = 25.
Siden samler det, eleverne skal kunne om den retvinklede trekant i udskolingen: navnene på siderne, Pythagoras, arealet og de tre trigonometriske forhold sinus, cosinus og tangens. Alle eksempler er regnet efter. Arkene ligger i hæfterne Geometri 8. klasse – Pythagoras og Geometri 9. klasse – trigonometri på tavletid.dk.
Hvad hedder siderne i en retvinklet trekant?
| Side | Hvor den ligger | Typisk bogstav |
|---|---|---|
| Katete | det ene ben i den rette vinkel | a |
| Katete | det andet ben i den rette vinkel | b |
| Hypotenuse | over for den rette vinkel – altid den længste side | c |
Ved trigonometri navngives kateterne også efter den vinkel, man regner med: den modstående katete ligger over for vinklen, og den hosliggende katete ligger ved siden af vinklen.
Hvad er formlen for hypotenusen? c = √(a² + b²)
Hypotenusen findes med Pythagoras: læg kvadraterne på kateterne sammen og tag kvadratroden.
a = 6, b = 8
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10
Pythagoras gælder kun i retvinklede trekanter. Omvendt kan sætningen afgøre, om en trekant er retvinklet: passer a² + b² = c² for siderne, er vinklen over for c ret.
Hvordan finder man en katete?
En katete findes ved at trække kvadratet på den kendte katete fra kvadratet på hypotenusen.
c = 13, a = 5
b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
b = √144 = 12
Eksempel fra hverdagen: stigen
En stige på 5 m står 1,4 m fra muren. Hvor højt når den op?
h² = 5² − 1,4²
= 25 − 1,96 = 23,04
h = √23,04 = 4,8 m
Pythagoræiske tripler: hele tal, der passer
Nogle sæt af hele tal opfylder Pythagoras præcist. De er gode til opgaver uden lommeregner, og de dukker op igen og igen.
| Kateter | Hypotenuse | Kontrol |
|---|---|---|
| 3 og 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 6 og 8 | 10 | 36 + 64 = 100 |
| 5 og 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 7 og 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
6-8-10 er 3-4-5 ganget med 2. Alle multipla af en tripel er også tripler. Håndværkere bruger 3-4-5 til at afsætte en ret vinkel: mål 3 og 4 ud langs to snore – står der 5 mellem enderne, er vinklen ret.
Hvad er arealet af en retvinklet trekant? ½ · a · b
Arealet af en retvinklet trekant er halvdelen af kateternes produkt, fordi den ene katete er højden på den anden. Trekanten med kateterne 3 og 4 har arealet ½ · 3 · 4 = 6. Se flere figurer på areal og omkreds.
Hvordan finder jeg en vinkel i en retvinklet trekant?
En vinkel findes med de trigonometriske forhold, når man kender to sider. Forholdene gælder for en spids vinkel A i en retvinklet trekant:
| Forhold | Formel | 3-4-5-trekanten, A over for siden 3 |
|---|---|---|
| sinus | sin A = modstående katete / hypotenuse | 3/5 = 0,6 |
| cosinus | cos A = hosliggende katete / hypotenuse | 4/5 = 0,8 |
| tangens | tan A = modstående katete / hosliggende katete | 3/4 = 0,75 |
Vinklen findes med den omvendte funktion på lommeregneren (sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹). Alle tre giver det samme:
sin A = 3/5 = 0,6
A ≈ 36,87°
B = 90° − 36,87°
B ≈ 53,13°
Kontrollér altid, at de tre vinkler giver 180°: 90° + 36,87° + 53,13° = 180°. Lommeregneren skal stå i grader (DEG), ikke radianer.
Find en side ud fra en vinkel
Kender man en vinkel og én side, findes de andre sider med samme forhold. Hypotenusen er 10, og vinklen A er 30°: den modstående katete er 10 · sin 30° = 10 · 0,5 = 5. Er den hosliggende katete 8 og vinklen 40°, er den modstående katete 8 · tan 40° ≈ 6,71.
Hvornår lærer eleverne den retvinklede trekant?
Efter Fælles Mål skal eleverne efter 9. klassetrin kunne forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter og have viden om den pythagoræiske læresætning og trigonometri knyttet til retvinklede trekanter. De skal også kunne bestemme afstande med beregning. På tavletid ligger Pythagoras i et hæfte til 8. klasse og trigonometri i et hæfte til 9. klasse. Se Fælles Mål i matematik og FP9 matematik.
Øvelser i den retvinklede trekant med facit
- Kateterne er 9 og 12. Find hypotenusen. (15)
- Hypotenusen er 10, og den ene katete er 6. Find den anden. (8)
- Er en trekant med siderne 5, 6 og 8 retvinklet? (Nej: 25 + 36 = 61, ikke 64)
- En rampe er 4 m lang og hæver sig 1 m. Hvor lang er den vandret? (√15 ≈ 3,87 m)
- En stige på 6 m står med en vinkel på 70° mod jorden. Hvor højt når den? (6 · sin 70° ≈ 5,64 m)
- Undersøgelse: Tegn en retvinklet trekant med kateterne 1 og 1 og mål hypotenusen. Sammenlign med √2 ≈ 1,41.
Hæfterne til Pythagoras og trigonometri
Hæftet til 8. klasse har fire ark med skitser af retvinklede trekanter: find hypotenusen, find en katete, afgør om en trekant er retvinklet, og afstande i hverdagen (stige, plæne, rampe, drage). Hæftet til 9. klasse tager trigonometrien: sin, cos og tan som forhold mellem siderne, find en side, find en vinkel og trigonometri i hverdagen. Vinkeltyperne og vinkelsummen står på siden om vinkler, og kvadratrødderne øves i Kvadratrod 9. klasse.
Geometri 8. klasse – Pythagoras
Hent 4 ark om Pythagoras med skitser og facit på tavletid.dk
Geometri 9. klasse – trigonometri
Hent 4 ark om trigonometri i retvinklede trekanter med facit på tavletid.dk