Tal og algebra
En brøk er en del af en helhed skrevet som to tal over hinanden: tælleren øverst siger, hvor mange dele man har, og nævneren nederst siger, hvor mange lige store dele helheden er delt i. 3/4 betyder 3 af 4 lige store dele og er det samme som 0,75 og 75 %. Brøker lægges sammen med samme nævner (1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12) og ganges tæller med tæller og nævner med nævner.
Siden følger brøkerne fra den første brøkstang i 3.–4. klasse til brøker under nul i 8. klasse – med regler, regnede eksempler og den rækkefølge, tavletids 17 brøkhæfter er bygget i. Du kan bruge den som overblik over hele forløbet eller hoppe til det trin, din klasse er på. Hæfterne ligger samlet på tavletid.dk/matematik/broeker.
Brøkernes progression fra 4. til 8. klasse
| Klassetrin | Hvad eleverne lærer | Hæfte |
|---|---|---|
| 4. klasse | brøkdele af en helhed, brøkdel af et tal, hvilken brøk er størst, ligeværdige brøker, plus og minus med samme nævner | brøkdele af en helhed |
| 5. klasse | forkorte og forlænge, brøk og decimaltal, uægte brøker og blandede tal, forskellige nævnere | forkorte og forlænge |
| 6. klasse | alle nævnere, gange og dele med brøker, brøk, decimaltal og procent | gange med brøker |
| 7. klasse | sammenligne og ordne brøker, brøker på tallinjen | sammenlign og ordn |
| 8. klasse | brøker i hverdagen og under nul, alle fire regnearter | i hverdagen og under nul |
Fælles Mål placerer brøkerne sådan: efter 3. klassetrin skal eleverne kunne genkende enkle brøker i hverdagssituationer, efter 6. klassetrin anvende brøker og have viden om brøkbegrebet, og efter 9. klassetrin anvende decimaltal, brøk og procent og kende sammenhængen mellem dem. Se Fælles Mål i matematik.
Hvad betyder tæller og nævner?
Nævneren navngiver brøken – den siger, hvor mange lige store dele helheden er delt i: halvdele, tredjedele, fjerdedele. Tælleren tæller, hvor mange af de dele man har. I 3/4 er helheden delt i 4, og man har 3. Delene skal være lige store; det er den vigtigste pointe i begyndelsen, og brøkstænger og cirkler gør den synlig.
Hvilken brøk er størst?
Med samme nævner er brøken med den største tæller størst: 5/8 er større end 3/8. Med samme tæller er brøken med den mindste nævner størst: 1/3 er større end 1/4, fordi en tredjedel er et større stykke end en fjerdedel. Den regel kan overraske eleverne, fordi 4 er »mere« end 3. Med forskellige tællere og nævnere sætter man på fællesnævner:
5/6 = 25/30
4/5 = 24/30
25/30 > 24/30 → 5/6 er størst
Et godt holdepunkt er 1/2: 3/8 er under en halv, 5/8 er over.
Ligeværdige brøker: forkorte og forlænge
Ligeværdige brøker er brøker, der står for samme tal: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8. Man forlænger ved at gange tæller og nævner med samme tal, og man forkorter ved at dividere begge med samme tal. Brøkens værdi ændres ikke.
Forlæng 2/3 til tolvtedele:
2/3 = (2·4)/(3·4) = 8/12
Forkort 12/18 mest muligt:
12/18 = (12:6)/(18:6) = 2/3
Forkort 6/8:
6/8 = (6:2)/(8:2) = 3/4
Man forkorter mest muligt ved at dividere med den største fælles divisor – for 12 og 18 er det 6. Den findes med primfaktorer, se primtal.
Plus og minus med brøker: find fællesnævneren
Brøker kan kun lægges sammen og trækkes fra, når de har samme nævner. Så lægger man tællerne sammen og beholder nævneren.
Samme nævner:
2/7 + 3/7 = 5/7
Den ene nævner går op:
1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4
Begge skal forlænges:
1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12
= 7/12
Minus:
3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12
= 7/12
Den typiske fejl er at lægge både tællere og nævnere sammen: 1/3 + 1/4 = 2/7. En tegning afslører det hurtigt – 2/7 er mindre end 1/3, selvom man har lagt noget til.
Gange og dele med brøker
Brøker ganges ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. Et helt tal kan skrives som en brøk med nævneren 1.
2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5
3 · 2/5 = 6/5 = 1 1/5
1/2 af 1/4 = 1/2 · 1/4 = 1/8
Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte brøk:
3/4 : 1/2 = 3/4 · 2/1
= 6/4 = 1 1/2
3 : 1/4 = 3 · 4 = 12
Det sidste eksempel kan forklares uden regel: hvor mange fjerdedele er der i 3 hele? 4 i hver, altså 12.
Uægte brøker og blandede tal
En uægte brøk har en tæller, der er større end eller lig med nævneren, og er derfor 1 eller mere. Den kan skrives som et blandet tal: et helt tal og en brøk.
7/4 = 1 3/4
(7 : 4 = 1 rest 3)
2 1/3 = 7/3
(2 · 3 + 1 = 7)
3 = 12/4
Brøk, decimaltal og procent: tre skrivemåder for samme tal
| Brøk | Decimaltal | Procent |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50 % |
| 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 3/4 | 0,75 | 75 % |
| 1/5 | 0,2 | 20 % |
| 3/5 | 0,6 | 60 % |
| 1/8 | 0,125 | 12,5 % |
| 1/10 | 0,1 | 10 % |
Fra brøk til decimaltal dividerer man tælleren med nævneren: 3/5 = 3 : 5 = 0,6. Fra decimaltal til procent ganger man med 100. Hele vejen videre til procentregning står på siden om procentregning.
Brøkdel af et tal: 2/5 af 30 = 12
En brøkdel af et tal findes ved at dividere med nævneren og gange med tælleren:
2/5 af 30 = 30 : 5 · 2
= 6 · 2 = 12
3/4 af 20 = 20 : 4 · 3
= 5 · 3 = 15
Den omvendte vej – hvor stor en brøkdel er 15 af 45? – giver 15/45 = 1/3.
Øvelser i brøker med facit
- Hvilken er størst: 2/3 eller 3/5? (2/3, fordi 10/15 er større end 9/15)
- Forkort 18/24 mest muligt. (3/4)
- 2/5 + 1/3 (11/15)
- 5/6 − 1/4 (7/12)
- 4 · 3/8 (12/8 = 1 1/2)
- 2/3 : 4 (2/12 = 1/6)
- Skriv 3/8 som decimaltal og procent. (0,375 og 37,5 %)
- En pizza er skåret i 8 stykker. Ida spiser 3/8 og Bo 1/4. Hvor meget er der tilbage? (3/8)
Hæfterne til brøker
Tavletid har 17 brøkhæfter med facit fra 4. til 8. klasse, typisk med fire ark hver. Det første, Brøker 4. klasse – brøkdele af en helhed, starter fra bunden med brøkstænger, tæller og nævner som ord og den første brøkdel af et tal. Herfra går forløbet trin for trin: ligeværdige brøker, plus og minus med forskellige nævnere, uægte brøker og blandede tal, dele med brøker og brøk, decimaltal og procent. Til spil med brøker, se brøk-duellen på matematikspil.
Brøker 4. klasse – brøkdele af en helhed
Hent 4 ark om brøkdele af en helhed – starten på 17 brøkhæfter med facit på tavletid.dk